二次函数最值问题

简介

最近我收到了很多粉丝的消息，要我讲一讲二次函数。所以今天我就给大家讲一道二次函数的典型题目。题目的要求是给定一个二次函数的解析式 y = x^2 + x - 1，以及一个区间条件 x ∈ [M, M+2]，求该区间内 y 的取值范围。这类题目属于二次函数最值问题。

解法

首先要注意，在这道题目中，我们已知的和能够完全确定的是二次函数的图像，或者说二次函数的解析式。所以我们的第一步是画出这个二次函数的图像。

确定对称轴和顶点

要画一个二次函数的图像，首先要确定它的对称轴以及顶点。对称轴的公式是 x = -b/2a，对应这道题就是 x = -1/2。画出图像后，我们观察到对称轴已经确定为 x = -1/2。

确定最小值点

接下来的问题是，当 y = -5/4 时，对应的 x 是多少？我们要找到二次函数图像上的最小值点。我们可以观察到，最小值点的纵坐标是 -5/4，与整个函数的最小值相同。这说明 x = -1/2 这个点必然在给定的区间 [M, M+2] 内。所以 x = -1/2。

确定最大值点

接着，我们要找到 y = 1 对应的 x 值，也就是函数图像的最大值点，也是边界点。我们只需要解方程 x^2 + x - 2 = 0，得到 x = 1 或 x = -2。所以当 x = 1 或 x = -2 时，y 的取值为 1。从图像上表示出来就是一条与 x 轴平行的直线，也就是 y = 1 这条线，与二次函数交点的横坐标分别是 1 和 -2。

边界值的验证

此时，我们要注意一点，既然 y 的取值范围是从 -5/4 到 1，且最小值 -5/4 对应的 x 坐标是 -1/2，在给定的区间 [M, M+2] 内，那么 M 只能是 -1 或 -2 这两种情况。我们分别来验证一下。

当 M = -1 时，我们要验证 -1/2 是否在给定的区间内，也就是 -1 ≤ x ≤ 1。同样地，当 M = -2 时，我们要验证 -1/2 是否在给定的区间内，也就是 -2 ≤ x ≤ 0。通过观察，-1/2 在这两种情况下都在给定的区间内。所以我们得出结论，在 x = -1/2 处，y 取到了 -5/4 这个最小值，在边界可以取到 y = 1 这个最大值。

结论

综上所述，该题的最终结果只有两个，要么 M = -1，要么 M = -2。这道题的解法就是先从二次函数的图像入手，然后根据边界条件进行推导。

希望以上解析能够帮助大家更好地理解二次函数最值问题。