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初中数学题怎么变通(揭秘等边三角形CP最小值)

支奇初

精选回答

题目：寻找CP的最小值

等边三角形ABC的边长为4，MN是边AB上的两个动点，且始终相等。我们的目标是找到点P使得CP的长度最小化。

1. 观察等边三角形特性

首先，我们知道等边三角形的每个角都为60度。由此，我们可以得出一个有趣的结论：如果我们过腰部的点M和N分别作边BC和边AC的平行线，这两条线将平行，因为同位角相等，形成的角也是60度。

2. 构建平行线和辅助三角形

接下来，我们可以构建一些辅助线来解决问题。考虑等边三角形中点M，我们可以通过M点作AC的平行线，这样我们就得到了另一个等边三角形。由于题目告诉我们BM等于CN，所以线段BM也是等边三角形的一边，同时注意到MP是平行于AC的。因此，BM和MP既相等又平行。这启发我们连接QN，形成一个平行四边形。

3. 利用平行四边形性质

既然P点是MN的中点，那么P点一定也是QN的中点。因此，只要我们延长CP，它一定会经过点Q。我们要找到CP的最小值，但我们可以转换思维，目标变为使CQ最小。

4. 寻找CQ的最小值

随着M点和N点的移动，整个平行四边形的形状和位置都会改变，Q点也会随之移动，但C点保持不变。要找到CQ的最小值，我们需要考虑点到直线的最短距离。因此，我们从C点开始作垂线。

5. 利用等边三角形性质

由于ABC是等边三角形，它具有三线合一的性质。因此，CQ既是底边的高，也是底边的中线。由于等边三角形的边长为4，我们可以得出AQ等于2。又因为ABC是等边三角形，所以角A等于60度，这意味着角ACQ等于30度。

6. 求解CQ的最小值

现在，我们可以使用勾股定理或特殊直角三角形的三边比例关系来计算CQ的长度。计算结果为2√3。所以，当我们找到CQ的最小值时，只需取其一半，即CP的最小值等于√3。

亮亮巧解初中数学 2023-10-08 16:57:48

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